Algebraische Strukturen
A. Gruppe
B. Ring
C. Körper
D. Verband
Ein distributiver Verband heißt komplementär, wenn er zwei Elemente n und e enthält, für die gelten:
Ein distributiver und komplementärer Verband heißt BooLEEscher Verband oder BooLEsche Algebra.
E. Abbildung von Mengen mit algebraischer Struktur
1. Homomorphismus
Eine Abbildung A einer Menge M mit einer algebraischen Struktur auf eine Menge M‘ mit einer algebraischen Struktur heißt Homomorphismus, wenn
(1) die Verknüpfung(en) in M eineindeutig der (den) Verknüpfungen) in M‘ zugeordnet sind;
(2) die Abbildung des Ergebnisses der Verknüpfung(en) in M zweier Elemente von M gleich dem Ergebnis der zugeordneten Verknüpfung(en) in M‘ der Abbildungen der beiden Elemente ist.
Wird z.B. der Verknüpfung ∗ in M die Verknüpfung º in M‘ zugeordnet, so gilt für x,y ∈ M
A (x ∗ y) = A(x) º A(y)
Die algebraischen Strukturen heißen dann homomorph.
2. Isomorphismus
Ein Homomorphismus heißt Isomorphismus, wenn die Abbildung A bijektiv ist. Die algebraischen Strukturen heißen dann isomorph.